陈峥等：基于短期充电数据和增强鲸鱼优化算法的锂离子电池容量预测

作者：陈峥 彭月 胡竞元 申江卫 肖仁鑫 夏雪磊

单位：昆明理工大学交通工程学院

引用： 陈峥, 彭月, 胡竞元, 等. 基于短期充电数据和增强鲸鱼优化算法的锂离子电池容量预测[J]. 储能科学与技术, 2025, 14(1): 319-330.

DOI：10.19799/j.cnki.2095-4239.2024.0686

本文亮点：1.仅利用前30分钟充电数据且采样间隔为30秒的数据就能准确预测电池容量 2.利用EWOA实现了强相关性特征提取 3.仅选用某电池前15%数据进行训练即可实现电池容量的准确预测，并在不同电池上验证了其泛化性

摘 要 为解决采用数据驱动的方法对锂离子电池容量进行预测时，难以获取完整充电数据、数据采样精度低和特征因子提取质量不佳等问题，本工作提出了一种基于短期充电数据和增强鲸鱼优化算法的锂离子电池容量预测方法。首先，为提升数据精度，利用三次样条插值对充电数据进行补充。其次，通过挖掘充电电压曲线与容量衰退之间的规律，确定特征因子为某充电时间区间的电压增量，并利用增强鲸鱼算法，从短期充电数据中实现了老化特征的有效提取。随后，构建了高斯过程回归容量预测模型，在确定训练数据量后，对比了不同算法的预测结果，验证了所构建模型的有效性。最后，将该方法在不同电池上进行测试，验证了预测精度和泛化能力。结果表明：对于实验室数据集，将前15%老化特征作为训练集时，可将该类电池最大误差控制在2.49%以内，且97%的预测误差控制在1.5%内；对于公开数据集，仅12组训练数据就能将该类电池最大误差控制在1%以内，实现了利用低精度和短期充电数据对电池容量的准确预测。

关键词 锂离子电池；短期充电数据；容量预测；增强鲸鱼优化算法；高斯过程回归

为了缓解能源短缺、推动“双碳”目标实现，国内电动汽车得到了飞速发展。鉴于锂离子电池有着能量密度大、循环寿命长、自放电率低和污染小等优点而广泛应用于电动汽车。锂电池在使用中，其各项性能不可避免地会发生衰退，具体表现为内阻增大和放电电压降低，直接影响其可靠性。通常，当锂电池的可用容量衰退到额定容量的70%以下时，就认为电池已经寿命终了(end of life, EOL)，应及时进行更换。因此，准确预测锂电池容量对提高电动汽车安全性具有重要意义。

目前，锂离子电池容量预测主要分为直接法和间接法。直接法可以得到锂电池的精确容量，但这种方法往往需要专用设备或者设计专用电路才能实现，泛化性不佳且难以实际应用。间接法主要包括基于模型的方法和基于数据驱动的方法，前者通过构建各种模型来描述电池特性，其常见的模型有电化学模型和等效电路模型。对于电化学模型，理论上能精确模拟不同的电池行为，从而实现电池容量的准确预测，但实际情况下，该方法不仅计算成本高，而且模型的准确性和鲁棒性很大程度上受到参数辨识的影响。等效电路模型使用电路元件来模拟电池的动态行为，将容量视为一个参数或状态，通过参数辨识的方法实时更新。该方法虽然易于在实际应用中实现，但其参数通常在特定工作条件下辨识，模型在其他工作条件下的适应性较差，可能需要频繁重新标定参数。因此，基于模型的方法对外部环境干扰比较敏感，适应性和鲁棒性不佳。相比之下，基于数据驱动的方法不需要进行繁杂的物理建模，也不需要对电池内部老化机理进行研究，只需要根据电池充放电实验阶段所得数据就能实现锂离子电池容量的准确预测。目前，数据驱动方法发展迅速，如支持向量回归(support vector regression, SVR)、高斯过程回归(Gaussian process regression, GPR)和神经网络(neural network, NN)等方法，在电池容量预测中得到了广泛应用。在利用数据驱动的方法对电池容量进行预测时，必须合理提取特征因子。所提取的特征因子不仅需要包含丰富的电池老化信息，且还应考虑特征因子选取的合理性与数据获取难度。容量增量分析(incremental capacity analysis, ICA)和差分电压分析(differential voltage analysis, DVA)是提取特征中两种常用方法，文献[14]通过ICA提取了4个有效特征，并选用约前50%老化数据进行训练，才实现了对两组数据集电池容量的准确预测。文献[15]通过DVA提取出了一个新颖有效的特征，实现了在1C放电条件下车用电池模块的容量预测。虽然这两种方法所提取的特征因子与电池老化具有强相关性，但其原始曲线中通常包含求导运算产生的大量噪声，这不仅会增加预测误差，也会给实际应用造成困难。因此，采用不受噪声干扰的特征提取方法更为合理。文献[16]通过模糊灰色关联分析提取了两个关键特征因子，并利用改进的SVR实现了对电池容量的准确预测。文献[17]通过鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm, WOA)确定多项式最佳参数，实现了对电压曲线准确拟合，并利用GPR实现了退役锂电池的容量预测。文献[18]从电池老化信息与“能量”角度出发，提取电流、电压与温度曲线中所包含的能量作为特征，并利用径向基(radial basis function, RBF)NN实现了电池容量在线预测。虽然以上方法实现了不受噪声影响条件下的有效特征提取，但以上两种方法均需要从完整的充电数据中提取特征，而在电动汽车实际充电过程中，完整充放电数据难以获取，该方法的应用会受到限制。

针对车用锂离子电池完整充放电数据难以获取、所采集数据质量不佳与难以有效提取特征因子的难题，本工作提出了一种基于短期充电数据和增强鲸鱼优化算法(enhanced whale optimization algorithm, EWOA)的GPR容量预测模型。首先，本工作使用三次样条插值将充电数据从30 s的采样间隔插值为1 s；随后，采用前30分钟的充电数据进行特征分析，并利用EWOA有效提取了电池老化特征，并将相关性都控制在0.99以上；最终利用GPR实现了仅用15%训练数据完成对该类电池容量的准确预测。结果表明：本工作方法仅根据充电过程前20%且采样间隔为30 s的数据就能将预测误差保持在2.5%以内，且在公开数据集上验证了该方法的泛化性，公开数据集的预测误差保持在1%以内，实现了电池容量的准确预测。

1 电池老化试验与数据分析

1.1 电池老化试验

在本研究中，电池老化数据是通过在实验室中进行测试获得的。表1列出了3个镍钴锰电池的主要参数。电池的额定容量和电压分别为4 Ah和3.6 V，工作电压范围为3～4.15 V。实验采用恒流-恒压充电方案，恒流充电电流为0.5 C，其中C表示额定容量。当电压达到4.15 V的截止阈值时，充电模式切换到恒压模式，当电流值降至0.02 C时终止充电。接下来，电池以1 C的恒定电流放电，直至电压降至3 V，在电池充电和放电之间静置时间为5分钟。

表1   电池主要参数

1.2 电池老化数据处理与分析

随着电池不断进行充放电操作，其性能会逐渐下降，电极材料降解、电解液逐渐耗尽和内阻增加是不可避免的。电池容量衰退曲线如图1所示，随着电池充放电周期的增加，3个电池整体容量下降明显。进一步观察可知，电池1和电池2的容量曲线整体衰退趋势更为接近，电池3则略有不同。这不仅表明了在相同的工作条件下，同类型的电池容量下降趋势相似，也显示出了同类型的单体电池之间，存在单体不一致性。

在原始实验数据中，由于电流电压数据的采样间隔为30秒，为提高数据质量，便于后续特征提取工作，对原始数据进行处理。考虑到充电过程中，电池的电流和电压数据为非线性变化且数据点多，采用三次样条插值，使插值后的电流电压数据间隔为1秒。对于每一个电流电压区间，三次样条插值表达式如式(1)所示：

(1)

式中，，2，分别对应需要插值的电压和电流数据；为电压电流的数据点；、、和均为需要确定的系数，且它们之间需要满足以下4个条件：①在数据点处，样条函数值与数据点值相等；②样条函数在区间的连接点处一阶导数连续；③样条函数在区间的连接点处二阶导数连续；④边界条件：可以是自然边界条件(二阶导数在边界处为零)或者其他给定的边界条件。

对比图2(a)和(b)可以发现，原始数据采样间隔大，经三次样条插值后的数据点更平滑，在数据增多的同时也能很好地保持原有电压电流数据的变化趋势，有利于从中准确提取特征。

2 基于增强鲸鱼优化算法的老化特征提取

2.1 增强鲸鱼优化算法

WOA能够在广泛的搜索域中同时求解多个参数，并确定总体的最优解。但也存在一些不足之处，如全局搜索能力有限、容易陷入局部最优、收敛速度较慢等。EWOA通过引入混沌映射、自适应参数调整和结合差分进化等改进措施，增强了全局搜索能力，提升了算法的收敛速度和稳定性，有效弥补了WOA的不足，使其在处理复杂和高维优化问题时更加高效和可靠。因此，本工作将EWOA用于确定老化特征过程。

EWOA通过引入池化机制和三种有效的搜索策略(迁移搜索策略、优先选择搜索策略和包围猎物搜索策略)来改进经典WOA的性能。

（1）池化机制：给定大小为的矩阵，每次迭代结束时，生成矩阵中的元素。元素按照式(2)生成：

(2)

式中，代表第次迭代的元素。为第次迭代中的二进制随机向量，则是它的逆向量。为第次迭代中的最差解。则代表的是在第次迭代中生成最优解所对应鲸鱼的一个邻近的随机位置。池化机制在每次迭代结束时，使用当前迭代中最差解和可能的最优解进行混合，以增加种群多样性。这一机制通过混合最差解决方案和有前途的解决方案，提升了算法的搜索能力，避免了过早收敛和局部最优陷阱。

（2）迁移搜索策略：其工作原理可以归纳为等式(3)。

(3)

式中，代表第次迭代中，第只鲸鱼的位置；代表第次迭代中，搜索空间内鲸鱼的随机位置；是一个介于[0,1)随机数，且它服从均匀分布；和分别对应求解问题的上界和下界；和则分别对应最优解的上界和下界。迁移搜索策略通过随机分离一部分鲸鱼，使其覆盖未访问的区域，增加探索能力和种群多样性。这一策略通过引入随机性，提高了算法跳出局部最优的能力。

（3）优先选择搜索策略：为了提高WOA搜索猎物方法的探索能力，EWOA采用了优先选择搜索策略。其工作原理可以归纳为等式(4)。

(4)

式中，代表第次迭代中，第只鲸鱼的位置；和均为第次迭代中，从矩阵中随机选择的位置1和位置2；代表EWOA中设置的最大迭代次数。优先选择搜索策略通过将鲸鱼分散在搜索空间的不同区域来发现多样化的解决方案，因此需要较大的步长。该策略使用重尾柯西分布，通过该分布产生较大值的概率非常高。

（4）包围猎物搜索策略：其工作原理可以归纳为等式(5)。

(5)

式中，为第次迭代中，从矩阵中随机选择的位置3。丰富的包围猎物搜索策略则对WOA中的包围猎物方法进行了改进，增加了一个随机选择的池矩阵成员，平衡了局部搜索能力和全局搜索能力。

2.2 特征提取与相关性验证

要将机器学习应用于锂电池容量预测，必须提取适当的特征因子。在这一过程中，不仅要考虑特征因子与电池容量的强相关性，还要考虑特征提取的便利性、合理性和实用性。为了有效提取特征，直观的做法是对充电电压曲线进行分析，因为充电条件一般是固定的，尤其是在恒流充电模式下，充电电压曲线相对稳定，更容易进行特征提取。但由图2可知，完整的恒流充电过程占据整个充电过程的绝大部分，而在实际应用中，充电过程通常不会进行至完全饱和状态，这导致充电末期数据往往难以获取。因此，利用短期充电数据实现对电池容量进行预测更为合理，本工作从充电前30分钟的数据中提取老化特征，用于电池容量预测。

图2   原始充电曲线和插值后的充电曲线

图3为电池1第1次、第301次、第601次充电时前30分钟的充电电压曲线。由图3可知，在不同的老化状态下，恒流阶段的充电电压曲线有明显的差异。随着电池的老化，充电电压曲线整体上移，相同充电时间下，电压值越高。值得注意的是，在某个 s的充电时间区间内，电池循环次数越高，此区间内电压升高值越大。显然，区间的选择不同，其也不同。为了找到与电池容量相关性最大的区间，采用EWOA进行搜寻，并以与电池容量的斯皮尔曼相关性系数最小为目标，求解区间上下边界和的值。目标函数的设置如下：

(6)

式中，表示第次循环中电压增量的秩次；表示第次循环对应容量的秩次；是总循环次数。

合理设置EWOA参数，对区间进行求解。其中，EWOA参数设置和求解结果分别如表2和表3所示。

表2   EWOA参数

表3   EWOA寻优结果

根据表3可知，EWOA运行5次的寻优结果几乎全都相同，且斯皮尔曼相关性系均为-0.995，这表示经EWOA寻优后的特征与电池容量具有强相关性。因此，将充电时间第1425 s升高至第1789 s的电压增量作为特征。将电池1～3第1425～1789 s的电压增量作为特征因子，其斯皮尔曼相关性系数计算结果如表4所示。

表4   相关性计算结果

根据表4可知，电池1～3的斯皮尔曼相关性系数绝对值均高于0.99，体现了特征因子与电池容量之间的强相关性，也证明了EWOA强大的寻优能力。

3 基于高斯过程回归模型的可用容量预测

3.1 GPR容量预测模型

将GPR用于可用容量预测时，需进行以下主要步骤。

（1）定义输入特征和目标：确定输入特征为2.2节中所提取的特征因子，预测目标为电池可用容量；

（2）归一化处理：对和进行Z-score归一化处理，消除特征间因尺度差异对GPR模型的影响，并加快收敛速度；

（3）调整训练集：合理划分训练集大小，保证模型的预测精度与计算效率；

（4）构建GPR模型：通过MATLAB确定GPR模型各项参数，并利用最大化对数边缘似然(log-marginal likelihood, LML)对核函数超参数进行优化；

（5）预测电池容量：使用训练好的GPR模型，对新样本的输入特征进行预测，得到电池容量。

综上，本工作所提出的容量预测方法主要流程如图4所示。

3.2 GPR原理

高斯过程(Gaussian process, GP)是一种用于回归和分类任务的非参数贝叶斯方法，通过高斯过程定义数据的先验分布，并通过观测数据进行更新，实现对未知数据点的预测。GPR能够为预测结果提供不确定性度量，在小样本和噪声数据条件下表现出色，具有很强的鲁棒性。高斯过程假设任意有限维度的随机变量集合服从多元高斯分布。对于输入数据集和输出数据集，其均值函数为，协方差函数为，如式(7)所示。

(7)

式中，表示均值函数，通常设为零函数；表示信号方差；表示长度尺寸，用于控制核函数的平滑度；为协方差函数，也称为核函数，常见的核函数有平方指数核和马特恩核。

由于平方指数核具有较好的平滑性和通用性，适用于大多数回归任务，故本工作采用平方指数核。核函数的选择及其超参数的优化对模型性能有重要影响，为找到最优的超参数，通过LML对核函数超参数进行优化，包括和，其中LML形式如式(8)所示：

(8)

式中，表示训练集；表示核函数的超参数；为的协方差矩阵，和则分别对应的逆矩阵和行列式。

在GPR中，对于训练集和测试集对应输出，联合分布如式(9)所示：

(9)

通过贝叶斯推理，测试集的后验分布如式(10)所示：

(10)

式中，和分别表示容量的预测值和其均值；表示容量测试集的协方差，用于衡量预测结果的不确定性。

3.3 模型评价指标

为了充分评价本工作方法的预测性能，引入决定系数(coefficient of determination, )、最大绝对误差(maximum absolute error, MAE)、平均绝对误差(average absolute error, AAE)和均方根误差(root mean square error, RMSE)来评价容量预测的精度，计算公式如式(11)。

(11)

式中，为样本数量，为真实值，为预测值，为预测值的均值。其中越接近于1，说明预测模型的拟合度更高，预测效果更好。而、和越小，则该模型的预测精度更高。

4 预测结果与讨论

4.1 不同训练数据长度的预测结果对比

要利用GPR实现准确预测，必须为其提供足够的训练数据。训练数据不足则会降低模型识别输入和输出之间潜在的非线性动态关系的能力。相反，过多的训练数据会增加计算负担，从而降低了模型预测效率。因此，确定训练所需最佳数据量对准确预测至关重要。本工作将电池1中整个老化数据的前10%、15%、20%、25%分别作为训练集。相应地，将剩下的90%、85%、80%和75%的数据进行测试，以确定最优训练数据量。电池1不同训练数据长度下的容量预测结果如图5和表5所示。观察表5可知，当选取前15%的数据进行训练时，所构建模型的为0.991，MAE为1.281%，AAE为0.4146%，RMSE为1.655%，最大误差为2.38%。观察图5(b)可知，98%预测值的相对误差都在1.5%以内，预测结果稳定。因此，将15%数据用于训练时，该模型就能对电池容量实现准确预测。

图5   不同长度训练集的预测结果和误差

表5   不同长度训练集预测结果评价指标

从表5还可知：当训练集从前15%数据减少到10%，即只减少5%的数据时，误差急剧增加，MAE、AAE和RMSE增加到15%的训练数据的2倍左右，最大误差则增加到3.14%。此外，从图5(a)中可以看出，误差增大点主要集中在电池老化的前期和后期。从图5(b)和表5可以发现，只利用前15%数据训练时，模型已经能够很好地捕捉特征因子与电池容量之间的关系，仅2个误差略微超过2%，即使在电池老化后期阶段，预测误差也不会随着循环次数的增加而迅速增加，能够实现电池达到EOL前容量的准确预测。从图5(c)和(d)以及表5可以发现，无论是训练集数据从15%增加到20%还是从20%增加到25%时，各项评价指标都与仅选用15%数据训练的预测结果相差不大。综上，同时考虑预测精度和训练计算量，确定训练数据为前15%。

4.2 不同模型的预测结果对比

为进一步验证模型在少量训练数据下的效果，将SVR模型、RBF NN、长短期记忆(long short-term memory, LSTM) NN、门控循环单元(gated recurrent unit, GRU) NN与本工作所建立的GPR模型进行对比。为保证对比的公平性，所有模型均使用电池1前15%数据作为训练集，后85%数据用于验证，不同数据驱动模型可用容量预测结果及误差如图6所示，不同算法的、MAE、AAE、RMSE及最大误差结果如表6所示。从图6和表6中可以看出，当只使用15%的数据进行训练时，虽然5种模型都可以预测电池容量，但三种NN的预测精度较低，并且它们的误差在预测起始时最大，造成这种差异的主要原因是神经网络的结构更复杂，这需要更多的训练数据，并且它们的超参数繁多，需要对其进行调优。

表6   不同模型预测结果的评价指标

此外，在仅选择前15%数据进行训练时，SVR模型的预测精度较高，但各项评价指标仍然略逊于GPR模型。这可能是因为数据中包含一些复杂的非线性关系和噪声，GPR通过对观测数据的概率分布建模，可以更好地捕捉这些复杂关系，且GPR能够通过贝叶斯推理来量化预测的不确定性，这使GPR在处理少量训练数据时具有优势，而SVR在数据量较少时可能不够稳定，需要更多训练数据才能发挥最优性能。综合表明，所选择的GPR模型在训练数据较少的情况下具有较高的预测精度。

4.3 不同电池的预测结果对比

为验证本工作方法对于不同电池的泛化能力，将分别验证同类型不同电池和不同类型的电池上的预测效果。其中，同类型不同电池对应电池2和电池3，其数据来自实验室。不同类型的电池对应电池4至电池7，其数据均来自公开数据集。电池4至电池7均为额定容量0.74 Ah的钴酸锂电池，在40 ℃以2 C倍率反复充电，并在Artemis城市行驶循环下以不同的电流曲线动态放电。每100次循环以1 C倍率进行恒流放电校准其容量。同样地，利用EWOA提取电池4至电池7前30分钟的充电数据，并基于构建的GPR模型进行容量预测。

（1）同类电池的预测结果：选择电池1的前15%老化循环数据作为训练数据，进行模型训练，使用电池2和电池3的全部老化循环数据作为测试集验证模型的容量预测精度，所获得的结果如图7和表7所示。

图7   电池2和电池3预测结果和误差

表7   电池2和电池3预测结果评价指标

观察图7和表7可知，即使使用来自不同电池的数据进行训练，所建立的GPR模型仍然可以有效地预测电池容量。其中，电池2和电池3的精度均较高，预测误差超过2%的数据均仅有1~2个数据点，表明了模型预测精度较高。通过对比图1和图7还可以发现：与电池3相比，电池2与电池1验证集的各项评价指标更为接近，这是因为电池1和电池2的容量衰退曲线更相似，两者单体不一致性更小，预测结果更准确。综上，可以认为所建立的GPR模型对相似工作条件下的同类电池具有较强的适用性。

（2）不同类型电池的预测结果：利用EWOA从电池4前30分钟的充电电压曲线中提取特征，并仅选择电池4的前15%老化循环数据进行模型训练，使用电池4后85%数据、电池5~7的全部老化循环数据作为测试集验证模型的容量预测精度，所得结果如图8及表8所示。

图8   电池4至电池7预测结果和误差

表8   电池4至电池7的预测结果评价指标

观察图8和表8可知，对于不同类型的电池，本工作所提出的方法仍然能够实现利用短期充电数据对电池容量的准确预测。根据各项评价指标可知，所有电池的均为0.999，且相对误差都控制在1%以内，预测结果优于实验室数据集，这可能是由于电池4至电池7的容量每100次循环才进行记录，无明显的局部容量再生现象，使特征因子与容量之间的非线性关系复杂程度略有降低。同时，由图8还可以发现，在电池5至电池7的预测结果中，预测初期的误差相对较大，且随着循环次数的增加，误差会不断减小，并稳定在0.6%内。此外，由于该数据集每100次循环记录一次容量数据，使训练数据减少至仅12组，但GPR仍出色地完成了电池容量的预测，证明了该方法在少量训练数据下的优异表现和不同类型电池上的泛化能力。

综上，两组数据的预测结果均显示出了较高的精度，验证了本工作所提方法具有较高的泛化性和鲁棒性。

5 结 论

为了解决数据驱动的方法在预测电池容量实际应用过程中，完整充电数据难以获取、数据采样精度低、所需数据量大以及特征因子提取不合理的问题。首先，本工作利用三次样条插值，提高数据质量。其次，通过分析前30分钟的充电数据，发现了电压曲线与容量衰退之间的关系，并以某充电时间的电压增量为特征，通过EWOA和斯皮尔曼相关性系数有效提取了强相关性的老化特征。然后，利用GPR构建了电池容量预测模型，确定了训练集为前15%老化特征数据，并分别与SVR模型、RBF NN、LSTM NN、GRU NN进行对比，验证了所选择GPR模型的精度。最后，分别将本工作所用方法应用到同类型和不同类型的电池上，验证了所提方法的有效性。结果表明，本工作所提方法仅利用某单体电池的少量短期充电数据就能够对该类电池容量实现准确预测，在降低数据获取难度的同时，保持了良好的泛化性和鲁棒性。但目前该研究仅实现了对单体电池容量的准确预测，如何将本方法扩展到电池组上，并在复杂动态环境下实现实车动力电池组容量的准确预测是下一步的研究重点。

第一作者：陈峥（1982—），男，教授，研究方向为动力电池管理与控制；

通讯作者：夏雪磊，硕士，研究方向为混合动力汽车动力系统优化控制。