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其中稳定运行目标和经济性目标分别为
其中E1为关于某一平衡点的正定终端代价函数。
再根据滚动时域控制原理,得到相应的字典序多目标非线性预测控制律:
其中u0*|k是u*k的第一个分量,对应的闭环系统为
由式(10)~(12),LMPC算法如下:
步骤1选择预测时域N和终端代价函数E1(x),设置目标函数Ji(i=1,2)。
步骤2测量k时刻状态xk,再按如下过程求解最优控制序列u*k。
步骤2.1求解第一层优化问题(10a),获得最优序列u1k*。
步骤2.2求解第二层优化问题(10b),获得最优序列u2k*。
步骤2.3确定整个优化问题(式(10))的字典序最优序列,u*k=u2k*。
步骤3将u*k的首个分量作用于系统式(3),更新状态。
步骤4令k=k+1,并返回步骤2。
在字典序多目标非线性预测控制算法设计中,需要离线求解终端代价函数E1和终端域Ω及其定义在Ω上的局部虚拟控制律uloc,根据三要素(E1,Ω,uloc)可以保证字典序多目标非线性预测控制闭环系统式(13)的渐近稳定性[18]。
考虑锅炉系统式(3)中相关变量的平衡关系[7]和实际生产过程中床温、烟气氧含量、风煤比等经济性控制要求,离线计算经济性能最佳的稳态系统的平衡点(xs,us):
再考虑锅炉系统式(3)在平衡点(xs,us)的离散时间线性化模型:
其中,A和B是系统式(3)在平衡点的雅可比矩阵:
考虑设定值跟踪性能函数式(4),对局部线性化系统式(15)采用LQR方法得正定矩阵P和反馈增益矩阵Kloc,则构建终端代价函数E1(x)=(x-xs)TP(x-xs)和局部控制律uloc(x)=-Kloc(x-xs)+us以及终端域Ω={x(R6:E1(x)(a,a>0}。注意局部控制律uloc(x)不会用于CFBB燃烧过程控制,而仅是用于计算终端域Ω以确保字典序多目标非线性预测控制问题式(10)的递推可行性。
3仿真比较与分析
考虑CFBB燃烧过程非线性连续时间模型式(1),以采样时间Ts=1s离散化得对应离散时间非线性模型式(3),分别应用WMPC和LMPC算法作对比仿真研究。
在仿真研究中,令预测时域N=5,约束条件为xmin=[221,0.03,0.03,1116.9,1000,32.4]T,xmax=[223,0.06,0.06,1117.1,1004,32.6]T,umin=[3.5,4.1,14.5]T,umax=[4.3,5.9,15.7]T,αmin=4.0和αmax=6.0。经济性能函数式(5)的折算系数分别为p1=4.3×10-1,p2=2.6×10-4和p3=1.4×10-5。通过离线试差法选取设定值跟踪控制目标式(4)中加权对角矩阵Q=diag{0.1,10,1,10,0.001,1}和R=diag{1,1,1}。求解稳态优化问题式(14),得最佳经济性能的稳态系统平衡点(xs,us)=(221.49,0.048,0.0501,1117.008,1001.70,32.412,4.0,5.0,15.0)。为求三要素(E1,Ω,uloc),在最佳经济平衡点(xs,us)处考虑线性系统式(15),应用LQR方法得正定对称矩阵:
和局部控制器反馈增益矩阵:
进而计算终端域Ω={x(R6:E1(x)(0.09}。
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