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将上述替换变量代入后,原数学模型的目标函数(6)中的网损成本以及网络约束条件(8)—(11)可作如下转变:
此外,替换变量Xi,t、Yij,t、Zij,t还需满足自身约束式(24)。至此原模型已经转变为线性方程式和二次等式的结合。为满足凸规划要求,将二次等式(24)进一步松弛并转化为标准二阶锥形式,如式(25)所示。文献[23]指出模型中的松弛是严格的,且根据文献[24-26]所述要求,本文含网损成本的模型严格符合转化条件。
2.1.2 储能约束转化
储能约束中式(14)—(17)为线性约束,符合二阶锥规划要求。非线性约束式(12)(13)可经如下转化变为锥约束及线性约束的结合,其中含0-1变量的非线性表达式可用Big-M法进行处理。
式中:M1、M2、M3为较大的常数;H1、H2、H3为新增辅助变量。
当εi=1时,模型中换流器额定容量、储能充放电功率上限值分别取到Srate ess,i、Pmax,ge ess,i和Pmax,disge ess,i,由于M为较大常数,约束(26)(27)将不会影响H的取值。当εi=0时,约束(26)(27)分别将换流器额定容量、储能充放电功率上限值约束至0。
经过上述处理,原混合整数非凸非线性规划问题转化为混合整数二阶锥规划问题。简化表达如下:
2.2 基于拉格朗日对偶的单层模型转化
2.2.1 鲁棒模型对偶转化
根据文献[27],二阶锥模型(28)中的目标函数等价于下式:
maxuminxcTxmaxuminxcTx (30)
再根据锥优化的强对偶理论[28],原二阶锥模型可转化为
式中:M是一个较大的常数;α˜α~为辅助变量;μ为0-1变量。
由上式可见:当μi=1时,α˜iα~i=αi,此时风电出力取到最大值,其对应的αi为正;当μi=0时,α˜iα~i=0,此时风电出力取到最小值,其对应的αi为负。
2.2.2 可调参数的代入
为防止结果过于保守,根据式(5)代入可调鲁棒参数Γ,改变不确定参数取值如下:
通过上述二阶锥转化及鲁棒对偶转化,原问题已成为一个易求解的单层混合整数凸规划问题,可利用成熟的商业软件包进行计算。
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